Progressão Aritmética

Denomina-se progressão aritmética  (PA) a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética.

A sequência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois:

a1 = 2
a2 = 2+5 = 7
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17

As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r.

Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r = 0, então a PA é constante.
Se r < 0, a PA é decrescente

Termo geral da PA

A partir da definição, podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an ) da seguinte forma:

a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r

O termo an geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:

a_n = a₁+(n-1)r

Propriedades de uma PA

Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:

- Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.

Observe a propriedade na PA (2,5,8,11)

- A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos:

3+21 = 1+23 = 24
5+19 = 1+23 = 24
7+17 = 1+23 = 24
9+15 = 1+23 = 24
11+13 = 1+23 = 24

Se ocorrer que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA. Veja por exemplo que na PA (1,4,7,10,13,16,19) tem 7 termos e que o termo central é 10 logo:

Soma dos termos de uma PA finita

É dada pela fórmula:

Propriedades úteis na resolução de problemas

As progressões aritméticas (PA) possuem algumas propriedades que são bastante úteis na resolução de problemas, principalmente alguns propostos nos vestibulares.

1ª propriedade: soma dos termos eqüidistantes.

Numa PA, os termos opostos, ou eqüidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.



2ª propriedade: média aritmética.

Observe a PA infinita (3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).
Se tomarmos três de seus termos:


e fizermos , ou seja, se tirarmos a média aritmética dos termos "da ponta", obteremos

,
que é o termo do meio.

E isso também acontece para quaisquer três termos consecutivos da PA.

No caso de uma PA com um número ímpar de termos, essa propriedade vale para termos opostos:



Há também duas observações que não consideradas propriedades, mas facilitam a resolução de problemas.

1ª observação: PAs desconhecidas de 3, 4, ou 5 termos.

Sempre que um exercício se referir a uma PA desconhecida com 3, 4 ou 5 termos é útil utilizar:

3 termos - (x - r, x, x + r)

4 termos - (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)

5 termos - (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)

Assim, evita-se o uso de muitas incógnitas, pois o natural seria utilizar a, b, c, d, e para os termos desconhecidos.

2ª observação: decompor os termos em função do 1º termo e da razão.

Em problemas que se referem a termos aleatórios de uma PA, por exemplo, , é útil diminuir o número de incógnitas, decompondo esses termos por meio da fórmula do termo geral.

Assim, utiliza-se  no lugar de  no lugar de .

Exercícios resolvidos

1) Achar a razão da PA (x, 2x + 5, 32).

Nesse caso, utilizaremos a propriedade da média aritmética para resolver o problema.

Assim, sabemos que .

Resolvendo a equação, temos:


Logo, a PA é .
E sua razão é .

2) Sabe-se que, numa PA, . Determine-a.

Utilizaremos a 2ª observação para resolver esse problema.


Note que, ao invés de 4 incógnitas, temos agora apenas duas!

Assim,



Temos o sistema:



Subtraindo a segunda da primeira equação, obtemos:

-2r = -6
r = 3.

Substituindo r na primeira igualdade, acharemos a₁:


E a PA fica determinada: (4, 7, 10, 13, 16, ...).

*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

VIDEO AULA